左圖：不同版本UCLA全球模式所用的水平網格 (Arakawa 2000)。右圖：質量通量型式的積雲參數化示意圖 (Arakawa and Schubert 1974)。
Akio Arakawa在1960年代跟UCLA Yale Mintz教授合作開發Mintz-Arakawa模式 (後來的UCLA全球模式)，之後將整個職涯奉獻給大氣模式，做出了非常重大的貢獻，尤其是模式的數值方法和積雲參數化領域。我想，所有做模式的人都受惠於Arakawa的研究成果，某方面來說都可算是Arakawa的徒子徒孫。對Arakawa的生平有興趣的話，可以參考我之前的文章：Akio Arakawa是我的神：Part 1 - Pre-UCLA History。
Arakawa 1997年在美國物理中心 (American Institute of Physics) 跟Paul Edwards的訪談中 (Edwards, 1997, Session II)，提到一些他對大氣模式的想法，我覺得非常有意思，也讓我重新思考模式這個東西。我在2010年左右開始接觸模式，那時候大氣模式已經發展得很成熟了，很多我視為理所當然的東西，但在Arakawa的年代是完全未知的領域和挑戰。他在那樣的時代背景下發展模式，然後見證模式蓬勃發展。他對模式的想法我覺得很珍貴，所以寫這篇文章記錄一下，加上一些個人想法。下一篇系列文Part 3，預計寫Arakawa跟Yale Mintz的合作經歷。
Arakawa對模式的看法，可以用他自己的話總結：
"The GCM [General Circulation Model] has been an excellent teacher for me, hard to cheat and at times too demanding, but ultimately appreciated." -- Akio Arakawa (2000), Section XI
(不負責任翻譯：氣候模式對我來說就像個明師，很難欺騙他，有時候要求太高，但最後對他非常感激。)
＊"Ｗe don’t know the basic equations.“
大氣模式的根基是數學方程式，一組用來描述大氣的空氣流動和熱力變化。如果是地球系統模式，還需加上大氣跟地表、海洋、生物圈等交互作用的方程式。Arakawa認為，做模式必須接受的事實是：我們其實不知道這些方程式，他還加了一句，很多氣象學家沒有認識到這個事實 ("we don’t know the basic equations. Okay. Many people, meteorologists, don’t recognize that."; Edwards, 1997, Session II, p9)。
Arakawa的理由是大氣橫跨極大的尺度，而且不同尺度的現象會互相影響，非常複雜。即使透過理論和觀測，我們更加了解大氣現象背後的方程式 (例如大尺度的大氣運動基本上遵守準地轉和靜力平衡近似)，但必須承認我們不知道有沒有一組方程式能描述所有尺度的大氣現象。舉個例子，雲滴是微米尺度(10-6公尺)，而鋒面雲系可以到數千公里 (106公尺)，整整橫跨了1012的尺度。如果真能找到一組方程式來描述雲滴粒徑分佈如何影響鋒面雲系範圍，絕對能列入人類最偉大的科學發現之一。
Arakawa做了一個很好的總結："Just [because] the existence of certain things in nature, does not mean we can model them."; Edwards, 1997, Session II, p13)。
(不負責任翻譯：只因為自然中存在某些現象，不代表我們就能模擬他們。)
＊”Modeling is not the pure mathematical task.”
在訪談中，Arakawa強調好幾次做模式的目的是了解自然，不能當成純粹的數學工作 ("we’ve got to know how nature behaves to model nature intelligently, of course, so modeling has not become a pure mathematical task."; "...much effort of the modeling is to find those laws and is not the pure mathematical task."; Edwards, 1997, Session II, p9 & 10)。
我自己的補充是，科學家們試著用數學方程式來描述變化萬千的大氣，但如果數學方程式過於複雜，很難跟自然連結，就不大適合用來建構模式。因為，如果連方程式的每一項都不知道該對應自然哪一部分的時候，如何能用此方程式來解釋自然現象？此外，如果為了追求簡潔漂亮和嚴謹的數學解，而對方程式做了過多理想化的假設，這些方程式也很難拿來建構模式。因為，這些方程式可能只存在數學世界中，而自然完全不按照方程式所描述來運行。
上面這段有點抽象，舉個例子比較好理解。
在次網格參數法中，常常使用到Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS equations) ，如下所示：
(from wiki: Reynolds-averaged Navier–Stokes equations)
這個RANS方程式特色是變數永遠比方程式多，所以要是不做額外假設的話，會有無窮多組解。以上面這個方程式為例，等號左邊是 <u_i> (這邊用<>來表示bar符號)，<u_i> 可以想成一個點的平均風速。等號右邊有 <u_i' u_j'> 這一項，是個新變數。這代表一個方程式，兩個變數，數學上有無窮多組解，模式不可能知道哪個解才是它想要的。
是可以把 <u_i 'u_j'> 的方程式導出來，但等號右邊又會有 <u_i' u_j' u_i'> 之類的新變數，變數還是比方程式多，沒完沒了。而且，<u_i' u_j' u_i'>或是更高階的變數，數學形式很清楚，但是很難跟真實世界連結，觀測上也幾乎做不到。因此，一般大氣模式頂多用到 <u_i' u_j'>的方程，很少用到更高階的方程。
上面這個例子想說明雖然模式可以建構在很複雜的數學方程式上，不過方程式最好能和自然或是觀測數據有連結，而且人腦可以理解。這代表模式的方程式要兼顧許多方面，而不是純粹的數學工作。
題外話，為了求解RANS方程式，有些變數必須用現有的變數來表示，稱為closure，是所有參數法 (parameterization) 的根本。Arakawa的積雲參數化經典之作 (Arakawa and Schubert 1974)，就是提出了以準平衡概念 (quasi-equilibrium)來做closure的重要概念。
＊”Two basic kinds of instability in models: Physical instability and Computational instability.”
大氣模式有兩種類型的不穩定因素 (instability)：物理上的不穩定因素 (physical instability)，還有計算上的不穩定因素 (computational instability)。我覺得這邊的不穩定因素也包含不確定性 (uncertainty)。Arakawa對這兩種因素都有很深入的研究，並作出巨大的貢獻，最經典的是Arakawa Jacobian (Arakawa 1966) 和Arakawa-Schubert積雲參數化 (Arakawa and Schubert 1974)，在訪談中他也談了不少這兩個重要工作 (Edwards, 1997, Session II, p6-9)。
模式會有物理上的不穩定因素，主要因為我們不是很清楚該用怎麼樣的方程式來描述大氣現象，如同前兩個小節所述。既然連方程式都不是很清楚了，基於方程式而建構出來的模式當然有一定程度的不穩定因素和不確定性。
要多了解物理上的不穩定因素以及改進，需要理論和觀測同時並進，相輔相成。理論算出來的東西看觀測上能不能支持，觀測到的東西來激發新的理論。Arakawa覺得從物理參數化發展的角度來看，主題明確且密集的觀測是最有用的 (Edwards, 1997, Session II, p14)。1969年Arakawa就提出質量通量(mass-flux)積雲參數法的雛形 (Arakawa 1969) ，但要等到好幾年後的GARP Atlantic Tropical Experiment (GATE)觀測實驗以及初步分析結果 (如Yanai et al., 1973)，他和學生Wayne Schubert才提出更完整的積雲參數化概念，成為經典的Arakawa-Schubert方案 (Arakawa and Schubert 1974)。在1997年的訪談中，Arakawa說他還是持續在用GATE的資料 (Edwards, 1997, Session II, p14)。
當有很多高品質的觀測資料，科學家們可能會發現自然比想像中的更有規律性，好像更有機會找到方程式來描述自然，是很讓人振奮的消息。有些人樂觀的認為只要有更多更高品質的觀測資料，就能大幅加速物理參數化的發展，來減少物理上的不穩定因素。
觀測資料當然對物理參數化的發展極有幫助，但Arakawa覺得這樣的想法太樂觀了，甚至樂觀到失敗的程度 ("failure of that optimism"; Edwards, 1997, Session II, p12)。他的理由很簡單：觀測資料是來激發靈感的，觀測資料不會告訴你該怎麼寫下方程式，自然中不存在物理參數化 ("Observation inspires idea. Observation doesn’t give formulation. Nature doesn’t have a parameterization."; Edwards, 1997, Session II, p30)。
即使現代有大量的野外觀測資料，衛星觀測資料，以及許多模式資料，外加機器學習這種強力的資料分析工具，但我相信還是無法徹底解決物理參數化的難題。大氣科學家們仍是持續和物理參數法奮鬥，我也是其中一員。
此外，Arakawa覺得在把新的東西加進模式之前，例如水氣或是物理過程，必須要審慎考慮。他希望放進去的東西是好的，而且盡可能不要太複雜。這需要經驗和花時間，所以是個緩慢的過程 (“As we put the addition of processes, we had to seriously think about this, and what’s a good way of doing based on the various many years’ experience, and so we tried to put in something new and good, but not necessarily too complicated. So it takes time; we just slowly moving.”; Edwards, 1997, Session II, p4)。
接下來談談計算上的不穩定因素。
描述大氣的數學方程式通常是微分方程式 (differential equations)，因為方程式是非線性的，沒有解析解，所以必須把微分方程式轉換差分方程式 (difference equations)，然後用數值方法來求解。從微分轉換成差分方程式，加上地球的幾何形狀和地形，是計算上不穩定因素的主要來源。
自然是一個連續的系統，即使我們確切知道自然現象依循什麼樣的微分方程式，但從微分轉成差分方程式時，原本的方程式已經被扭曲一部分，跟原本就不是完全相同了。此外，因為地球是球體，經度線在南北極會比赤道密集許多，換句話說經度1度的距離會隨著緯度改變，做水平差分就面臨不少挑戰。還有，地球有地形起伏，像是高山和平原，在選擇垂直座標需要考慮地形的效應，也是一大難題。
因為這些挑戰和難題，在求解差分方程式的過程中，會碰到不少問題。最直接的例子就是模式跑出極不合理的數值 (例如某地方的大氣溫度是1,000K)，於是模式停止運行，俗稱爆掉了 (blow up)。另一種可能是模式沒有爆掉，但跑出來的結果跟地球大氣特徵完全不一樣 (例如全世界的雲都不見了)，變成垃圾結果 (garbage)。
要讓模式不會爆掉，又要跑出有意義的結果，是個很困難的課題。Norman Phillips (1956) 被譽為第一個氣候模式，但是模式只能跑出一個月的模擬結果，再長模式就爆掉了。之後Norman Phillips和其他人有一些後續的研究，但問題還是沒有解決。從這些文獻以及Arakawa自己在日本氣象廳的模式經驗，他深知要是無法克服氣候模式在計算上的不穩定性，氣候模式是發展不起來的。所以當他受Yale Mintz教授邀請去UCLA開發氣候模式，他決定首要任務是改進數值方法來克服計算上的不穩定性，要不然發展氣候模式毫無意義 (Edwards, 1997, Session I, p25)。
1962年初，Arakawa基本上克服氣候模式在計算上的不穩定性問題，但直到1966年才發表出來，這篇就是經典的Arakawa Jacobian (Arakawa 1966)。Arakawa自己承認拖了這麼多年才發表出來很難為情 ("I essentially finished this work in early 1962 and presented it at various conferences in 1962 and 1963. It is rather embarrassing that I did not publish the work until 1966"; Arakawa 2000, Section IV)。
做個小結。
Arakawa把物理上和計算上的不穩定因素統稱為computational mode。這個mode不存在於原始方程式中，完全是建構模式中不可避免的產物，如物理參數法，差分方式，數值方法等。我們無法確定這個mode會造成多大的誤差，因為原始的方程式沒有這一項，沒有真正的解可以拿來估計computational mode造成的誤差 (“And what I think is very important is the computational mode. It’s a mode which does not have a counterpart to the original equation. So it’s spurious, but we cannot talk about the error. The error is the difference of that solution from the true solution, but there is no true solution corresponding to that.”; Edwards, 1997, Session II, p8)。
舉個例子，數學上sine函數的微分是cosine函數。我們可以用數值方法來計算sine函數的微分，並和真正的解cosine比較，來估計數值方法造成的誤差。可惜的是，大氣模式只有數值解沒有解析解，所以無從得知數值解到底跟真正的解相差多遠，誤差有多少。
＊”I know that the model is far from nature….but I have an observation of what GCM can do.”
寫到這邊，覺得做模式好困難啊。既不敢保證所用的方程式正不正確，在差分和用數值方法求解時又會遇到很多障礙，即使克服這些障礙，所做出來的模式又是什麼東西呢？做模式的目的又是什麼呢？Arakawa給了一個很好的回答：
"We have to have a discrete system [i.e. models] so that we can compute — discrete system which is physically analogous to the continuous system [i.e. nature]." (Edwards, 1997, Session II, p25)
(不負責任翻譯：為了計算目的，我們需要有個差分系統 [即模式]，但那個差分系統在物理上需要近似於真正的連續系統 [即自然])。
Arakawa也知道模式跟自然完全是不同的東西，但藉由觀察，他知道模式可以做什麼 (”I know that the model is far from nature….but I have an observation of what GCM [General Circulation Model] can do.”; Edwards, 1997, Session II, p15)。
比方說，在1950年代，大氣環流的基本特徵基本上已經知道了。同時期發展的大氣環流模式 (General Circulation Models)，首要任務是能重現觀測到的環流特徵。當確定模式能重現環流特徵後，科學家們陸續在模式裡頭加入更多東西，如水氣，輻射，雲等，然後看模式能不能繼續重現觀測到的大氣特徵。
當模式能重現大氣的特徵，科學家就可以用模式來研究大氣，氣象單位可以用模式來做天氣預報，還有許多潛力無窮的應用。現在能有可靠的一週天氣預報，颱風來襲一週前就能開始追蹤分析，評估氣候變遷對未來可能造成的影響，都是受惠於模式的發展。
大氣模式從一開始的純研究工具，到現在影響社會的方方面面。模式在科學上的成就，對人類社會的影響，完全不遜色於汽車，飛機，電腦等各項重要發明。Arakawa以"magnificent" (壯麗的) 形容模式的發展 (Edwards, 1997, Session II, p15-16)。對氣候模式的發展過程有興趣的話，可以參考我在物理雙月刊的2021年諾貝爾物理獎專欄中寫的文章：2021諾貝爾物理獎：持續演變的氣候模式。
最後，雖然模式已經如此成功的模擬實際的大氣特徵，還是要切記：the model is far from nature。
＊”The model here had a broad influence at institutions, and I think is my main contribution.”
在訪談最後，主持人Paul Edwards問Arakawa他覺得自己對氣候科學最重要的貢獻是什麼？
Arakawa說這很難回答。如果從科學文獻的引用數來說，應該是Arakawa Jacobian (Arakawa 1966)，Arakawa-Schubert積雲參數化 (Arakawa and Schubert 1974)，以及UCLA全球模式的記述 (Arakawa and Lamb 1977)。Arakawa and Lamb (1977) 還被一些人認為是氣候模式的聖經。Arakawa認為他的貢獻不是只有這些科學文獻，而是對氣候模式整體發展的貢獻。("But I guess my overall contribution to the society is not just through individual papers but this collectively. The model here had a broad influence at institutions, and I think is my main contribution."; Edwards, 1997, Session II, p23-24)。
放一下這三篇經典文獻的封面：
Arakawa, A., 1966: Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: Two-dimensional incompressible flow. Part I. J. Comput. Phys., 1, 119–143, https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5.
Arakawa, A., and W. H. Schubert, 1974: Interaction of a Cumulus Cloud Ensemble with the Large-Scale Environment, Part I. J. Atmos. Sci., 31, 674–701, https://doi.org/10.1175/1520-0469(1974)031<0674:IOACCE>2.0.CO;2.
Arakawa, A., and V. R. Lamb, 1977: Computational Design of the Basic Dynamical Processes of the UCLA General Circulation Model. ACADEMIC PRESS, INC., 173–265 pp.
Arakawa除了科學上的重大貢獻，他也培養出一群優秀的學生。在模式發展過程中，會遇到不少需要解決的重要問題，成為他許多學生的博士論文題目 (“Development of a GCM suggests a number of unique research topics, which were addressed by Ph.D. dissertations of many of my former students.”; Arakawa 2000, Section XI)。
除此之外，Arakawa和Mintz發展的UCLA全球模式，是1960年代開始發展氣候模式的單位中唯一一個大學單位，其他是研究單位 (GFDL和NCAR) 或個人開發 (Chuck Leith at LLNL)。UCLA的學生參與了模式開發，畢業後將UCLA模式帶往各地或是參與其他的模式工作，促進了模式領域的整體發展。UCLA模式是模式家族分支最廣的一家，可以看下面這張氣候模式族譜。台灣氣象局在1980年代去UCLA取經，把模式搬回來作為氣象局第一代的全球預報系統 (Edwards, 1997, Session I, p23-24; 葉等, 2012)。
The AGCM family tree. A Vast Machine: Computer Models, Climate Data, and the Politics of Global Warming (Cambridge: MIT Press, 2010), p. 168. Graphic by Trevor Burnham. Acronym expansions and further information is available at pne.people.si.umich.edu/vastmachine/agcm.html.
＊雜記：Arakawa的研究態度 & 自評 Arakawa and Schubert (1974)
最後是雜記，記一下Arakawa說他為何沒做什麼跟全球暖化相關的研究，以及他自評Arakawa and Schubert (1974)那篇文章。
1960年代，科學家開始對大氣中二氧化碳增加可能造成的全球暖化開始感興趣。Suki Manabe and Richard Wetherald (1967) 用模式探討二氧化碳增加對地表溫度的影響，更是經典之作。此後，全球暖化議題開始變得熱門，也有許多相關研究。雖然Arakawa認為全球暖化是有趣而且重要的題目，但他幾乎沒有做相關研究，他說未來可能也不會做。理由是因為他光其他題目就忙不完了，沒有餘力做暖化的研究 ("I said it [global warming] is an important and interesting problem, but I didn’t do that problem in the past and probably not in the future because, well, it’s hard to understand the interaction that this process is keeping me to, busy enough."; Edwards, 1997, Session II, p18)。
Jule Charney在1970年代要找一組專家學者來評估全球暖化這議題，Charney找Arakawa加入這個小組。Arakawa跟Charney說他從來沒有做過暖化議題，Charney回說就是這樣我才要找你，你能提供客觀的意見。於是Arakawa就加入那個小組了 ("Charney called me up to join the panel. I told him I’d never worked on that program. Then Charney said, 'That’s exactly why I want you! So it can be objective.'"; Edwards, 1997, Session II, p17)。
接下來寫一下Arakawa自評Arakawa and Schubert (1974)。
Arakawa and Schubert (1974)是經典之作，但也惡名昭彰。很多人說那篇文章很難懂，而且方程式太多了，連Charney都開玩笑說那篇文章有150個方程式，他需要150小時才能讀懂 (Edwards, 1997, Session I, p51-52)。此外，做模式的人和理論學家批評Arakawa-Schuber方案太複雜了，而做觀測的人批評不能用那麼簡化的方式來表示積雲對流 (Edwards, 1997, Session II, p24)。
Arakawa自己覺得那篇文章很清晰，一點也不難懂。但他承認文章太長而且方程式太多，應該要拆成幾篇。不過他感覺近來越來越多人認識到積雲參數化是很難的問題，也開始讚賞那篇文章的深度 (Edwards, 1997, Session I, p51; Edwards, 1997, Session II, p24)。
＊後記
Arakawa提到的模式觀念我基本上都知道，但沒辦法講那麼清楚。在寫筆記的過程中，我試著從Arakawa的角度，從他一路發展模式的過程中，去思考模式為何物，以及試著體會模式發展過程中遇到的種種挑戰。把想法整理寫下以後，原本在腦袋模糊不清的東西，變得更清楚了，也更加敬佩那些模式發展的先驅們。
一般的歷史筆記，我大概一兩天就可以寫完。不過這一篇我寫了一週，平均每天花1-2小時來完成一節。我是想寫更快一點，不過通常寫完一節後，腦袋就乾了，寫不下去了。
參考資料
Arakawa, A., 1966: Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: Two-dimensional incompressible flow. Part I. J. Comput. Phys., 1, 119–143, https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5.
Arakawa, A., 1969: Parameterization of cumulus clouds. Proc. Symp. on Numerical Weather Prediction, Tokyo, Japan, WMO/International Union of Geodesy and Geophysics, 1–6.
Arakawa, A., and W. H. Schubert, 1974: Interaction of a Cumulus Cloud Ensemble with the Large-Scale Environment, Part I. J. Atmos. Sci., 31, 674–701, https://doi.org/10.1175/1520-0469(1974)031<0674:IOACCE>2.0.CO;2.
Arakawa, A., and V. R. Lamb, 1977: Computational Design of the Basic Dynamical Processes of the UCLA General Circulation Model. ACADEMIC PRESS, INC., 173–265 pp.
Arakawa, Akio, 2000: A personal perspective on the Early Years of General Circulation Modeling at UCLA, General Circulation Model Development: Past, Present and Future, D. A. Randall. Ed., Academic Press.
https://www.elsevier.com/books/general-circulation-model-development/randall/978-0-12-578010-0
Interview of Akio Arakawa by Paul Edwards on 1997 July 17 (Session I), Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA,
https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/35131-1
Interview of Akio Arakawa by Paul Edwards on 1997 July 17 (Session II), Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA,
https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/35131-2
Manabe, S., and R. T. Wetherald, R. T, 1967: Thermal equilibrium of the atmosphere with a given distribution of relative humidity. J. Atmos. Sci. 24, 241–259.
Phillips, N. 1956: The general circulation of the atmosphere: A numerical experiment. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 82, 123-164.
葉天降, 馮欽賜, 柳再明, 陳得松, 黃康寧, 陳雯美, 汪鳳如, and 洪景山, 2012: 中央氣象局數值天氣預報作業系統(二) 預報模式概況. 氣象學報, 48, 69–95.