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Text prompt: “Numerical weather prediction. Please emphasize physical equations, computers, and weather forecast”
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瑞典裔美籍氣象學家Carl-Gustaf Rossby (1898-1957)，是現代氣象學中最具有影響力的人物。他主要的研究貢獻在大氣動力學，對航空氣象、數值天氣預報、大氣化學、雲物理、地球系統科學等也有很重要的貢獻。
1957年8月19日，Rossby因心臟病發驟逝，享年58歲，震驚整個科學界。原先Rossby友人規劃慶祝他六十歲大壽的學術特別專輯，變成Rossby的逝世紀念專輯，但未改變其初衷，即見證Rossby在大氣科學的學術發展、教學、和國際科學合作上的重要貢獻與領導角色。
Rossby的紀念專輯於1959年出版，標題為：
THE ATMOSPHERE AND THE SEA IN MOTION
SCIENTIFIC CONTRIBUTIONS TO THE ROSSBY MEMORIAL VOLUME
專輯的主編是Bert Bolin，由Rockefeller University Press出版，網路上可找到全文：https://books.rupress.org/sites/books.rupress.org/files/ebooks/9780874700336_WEB.pdf。
Rossby紀念專輯的第一篇文章 (Rossby 1959)，是Rossby過世前幾個月在瑞典國家科學研究委員會的1956 年年鑑發表的文章：Aktuella Meteorologiska Problem (瑞典文，中譯為「當前氣象學面臨的問題」)，分成以下章節：
Introduction
Planetary problems of balance and circulation
A. Radiation balance and heat storage
B. Carbon dioxide and its cycle
C. Tritium and the hydrologic cycle
The general circulation of the atmosphere
Weather forecasts
Distribution of matter in the atmosphere
A. Air trajectories
B. Distribution and circulation of maritime salts
C. The circulation of sulphur and ammonia
D. The exchange of matter at the sea surface
Attempts to control atmospheric processes
這篇文章，從現在來看仍是極具意義和遠見。系列文Part 8.3，來筆記 “Weather forecasts” 這一個章節 (p29-37)。Rossby經歷了天氣預報史上兩個重大變革：一是挪威物理和氣象學家Vilhelm Bjerknes提倡從基本物理和數學的角度來研究大氣，並提出極鋒理論來做天氣預報，Rossby少年時代時曾經在Bjerknes底下工作 (系列文Part 2)；二是動力氣象學的理論發展，後在電腦的出現後實際應用於天氣預報，即所謂的數值天氣預報。Rossby在這個章節花了不少篇幅回顧數值天氣預報的發展過程，基本上是他的第一手見證。在他驟逝前幾年，數值天氣預報、雷達、衛星開始蓬勃發展，在大氣研究和天氣預報有潛力無窮的應用，他感到十分振奮。
對Rossby故事有興趣的話，可以參考我之前寫的文章：https://yihsuanchen-journey.blogspot.com/search/label/Carl-Gustaf%20Rossby：
Carl-Gustaf Rossby: Part 0 - Rossby’s mentorship
Carl-Gustaf Rossby: Part 1 - 簡介
Carl-Gustaf Rossby: Part 2 - 少年時代
Carl-Gustaf Rossby: Part 3 - 美國氣象局 & 建立航空氣象地面觀測網
Carl-Gustaf Rossby: Part 4 - MIT時期
Carl-Gustaf Rossby: Part 5 - 二戰期間
Carl-Gustaf Rossby: Part 6.1 - 芝加哥大學氣象研究所的成立
Carl-Gustaf Rossby: Part 6.2 - 芝加哥的學生
Carl-Gustaf Rossby: Part 7.1 - 重返瑞典
Carl-Gustaf Rossby: Part 7.2 - 瑞典的學生
Carl-Gustaf Rossby: Part 8.1 - 當前氣象學面臨的問題：輻射收支、二氧化碳和碳循環、水循環
Carl-Gustaf Rossby: Part 8.2 - 當前氣象學面臨的問題：大氣環流、鋒面
▋1. 天氣預報變成解方程式
20世紀初期，挪威物理學家和氣象學家Vilhelm Bjerknes (1862-1951) 定義了理論氣象學中的主要問題，即根據流體動力學和熱力學方程式以及某一時刻的大氣狀態與運動的觀測數據，來計算另一時刻的大氣狀態與運動 (p29-30)。方程式通常可以寫成這樣的形式：
Φi (x, y, z, time) 是第i個變數Φ，如水氣、溫度、風等，為空間和時間的函數。F是複雜的、非線性運算函式，裡面包含所有物理過程如平流、蒸發、凝結、輻射、紊流傳送等。
原則上可以量測某一時刻的Φ，放入右式後，就可以計算左式的Φ隨時間的變化。將Φ的改變加到原本的數值，就可以得到空間網格中Φ的新分佈。反覆進行這一過程，可以得到12小時、24小時、或更長時間的預報。
從Bjerknes的觀點，天氣預報變成寫方程式、解方程式的物理數學問題，開啟了動力氣象學這個領域。動力氣象學的研究重點是尋找合適的方程式來描述大氣，然後用數學方法去解那些方程式，根據所計算出來的結果進行預報。這是現今所有天氣和氣候數值模式的基本框架。
Bjerknes可說是現代氣象學之父。Rossby少年時代時曾經在Bjerknes底下工作 (系列文Part 2)，他認為Bjerknes擁有非凡的思考能力，能抓住問題的核心，把複雜困難的天氣預報問題簡化成更加基本的物理和數學問題，他的信念和熱情，開啟後來幾十年的氣象學理論研究 (p29)。Bjerknes的觀點和影響力一直持續到現今的大氣科學研究和數值模式發展。
此外，Bjerknes也代表了19世紀蓬勃發展的理論物理學派的信念和觀點，這個學派透過方程式來了解自然現象，有著幾乎無限的信心將物理方程立即的、直接的應用在自然問題。但後來的學者往往過於依賴線性化偏微分方程的單調操作，對氣象學的發展不如Bjerknes有那麼高的成就 (p29)。
1922年，英國科學家Lewis Fry Richardson (1881-1953) 嘗試用物理數學方程式，配上當時的觀測資料，來計算地面氣壓24小時的變化。他純靠手算，花了六週時間做出了8小時的預報，算出地面氣壓六小時增加了145 hPa (145 hPa/6h)，是不可能出現在現實世界的數值，可說是大失敗。Richardson認為這個不合理的數值是因為變化項相比於其他項來說太小，需要有更加精準的觀測資料，例如風速的精準度需要在0.1 m/s。然而，二三十年後科學家證明即使觀測資料沒那麼精準，物理數學方程還是可以產生讓人滿意的天氣預報結果。Richardson的嘗試失敗是因為更根本的問題 (p30)，會在下小節說明。
▋2. 大氣運動包含多重尺度
大氣的運動和現象橫跨很大時空尺度，從半小時、幾百公尺範圍的積雲對流，一直到可持續數個月、幾千公里的季風系統。德國氣象學家很早就注意到這種大氣的多重尺度特徵，稱為 “Grosswetterlage“ (Google翻譯為「整體天氣狀況」)。這個術語原本來表示各個鋒面波所處的鋒面帶並不總是在固定的位置，而是跟隨著有些許季節變化、半永久的行星尺度環流系統 (如亞速高壓、冰島低壓) 而移動使得鋒面緩慢地改變位置、方向和強度。“Grosswetterlage“ 本質上代表科學家們理解大氣中可以同時存在水平尺度完全不同的環流系統，小尺度的環流疊加在大尺度的環流上，前者的運動方向部分受後者的引導。然而，德國氣象學家從未根據這些概念來建立紮實的氣象學理論 (p30)。
既然大氣現象橫跨這麼大的時空尺度，Rossby很驚訝的發現二戰前的氣象學教科書和文章，幾乎沒有觸及關於大氣現象尺度的問題。例如，為什麼地表的氣旋半徑通常是10^3公里，而不是10^2 或 10^4 公里？這類問題從未被提出過。他覺得或許可以從歷史背景中找到一些解釋。Vilhelm Bjerknes在一戰結束後推動建立一個密集的地面觀測站網絡。該網絡的設立是基於一個基本假設：在一個有限區域中獲得的詳細觀測數據，可以取代來自更廣闊但密度較低的網絡的資料 (p30-31)。我的理解是，Bjerknes認為同一組物理數學方程可以解釋不同尺度的大氣運動，所以使用小區域的密集觀測資料來發展和驗證理論就行，不需要大區域的觀測資料。
但在發展數值天氣預報時，如果沒有考慮大氣的多重尺度特徵，就造成很大的麻煩，也是Richardson的數值天氣預報實驗嘗試失敗的原因。Richardson的嘗試失敗主要問題不是出在方程式和解法，而是如果用他的方程式，必須把初始資料中高頻的重力波雜訊濾掉，做長時間積分才有意義。如果用修正過的初始資料，計算出來的氣壓變化是六小時改變1百帕，就是很合理的數值 (Lynch, 2006)。
▋3. 將大氣以簡化模型來表示，並據此發展理論
1930年代，在麻省理工學院任教的Rossby和同儕組織了一個新的研究項目，主要目的是探索是否有可能將天氣預報的時間範圍從一至兩天延長到五天或一週。但他們很快意識到，由於單個鋒面波可以在一週內形成、移動數千公里，然後消散。如果想藉由改進當時的天氣預報方法來延長預報的時間範圍，幾乎沒有希望，必須要發展全新的預報方法 (p31)。
Rossby受到德國科學家的“Grosswetterlage“概念啟發，決定從天氣圖中去除快速變化的小尺度現象，只保留那些移動較慢的大尺度環流特徵。具體做法是將每日地面天氣圖進行五天移動平均處理，通過這種方法，天氣圖上僅會顯示較大尺度的現象以及其緩慢的變化與移動。這些較大尺度的系統仍然具有封閉的氣旋和反氣旋系統的特徵，如果檢視5公里高度的氣壓場，通常顯示有一個緩慢移動的波疊加在中緯度的西風氣流之上 (p31)。
通過這種方法呈現的大氣運動系統，其水平空間尺度約為5,000公里，而對流層高度約為10-20公里，只相當於水平尺度的1/250。因此，將這些大尺度大氣系統視為空氣在覆蓋地球表面的一個淺淺的二維平面 (x-y) 進行慣性運動，是很自然的想法。下一步是根據理論去推導空氣在這個二維淺層的運動方程式，最後發現其動力學會濃縮為一個單一的方程式——渦度定理 (vorticity theorem)。該定理表明，流體中的單個元素運動時在絕對渦度的垂直方向上保持守恆。絕對渦度由兩部分組成：流體元素相對於地球的渦度，以及地球自身渦度的垂直分量 (在極地達到最大值，而在赤道為零) (p31)。
依據渦度定理，當流體元素向南移動時，其相對於地球的渦度會增加；反之亦然。渦度的分佈可以根據風速場來計算，因此，可以利用渦度定理計算一段時間後的渦度分佈 (例如一小時後)，然後把計算出來新的渦度分佈轉換成新的風速場，新的風速場又可以計算下一時間間隔的渦度分佈，就這樣持續下去。這個方式是1950年代作業用數值天氣預報的基礎 (p31)。
即使是非常簡化的渦度定理以及其在天氣預報的潛力，但如果要實際應用在天氣預報，需要極其龐大的計算量，遠超過當時人力和科技的極限。因此理論氣象學家持續尋找更精簡的模型，並依此發展理論，希望能用來解釋複雜的大氣現象。Rossby的經典工作之一的長波理論 (後稱為Rossby wave) 就是在這個時期發展出來的 (p31-32)。
▋4. 電腦的出現開啟了數值天氣預報
二戰結束後，電腦開始用於民生用途，也開啟了數值天氣預報的研究和應用。
1940年代末期，數學家John von Neumann在普林斯頓高等研究院 (Institute for Advanced Study) 聚集了一個研究團隊，成員包括Jule Charney、Ragnar Fjørtoft、Norman Phillips等人，團隊的目標是使用電腦來解可以應用在天氣預報的數學物理方程式，即數值天氣預報。他們所使用的電腦是電子數值積分器和計算機 (Electronic Numerical Integrator and Computer; ENIAC)，是首次作為一般用途、非軍用的電腦。
經過幾年的探索，研究團隊選定大尺度的大氣運動系統做為初步的數值實驗目標，因為這個系統可被視為流體在二維平面上進行慣性運動，處理上相對簡單。如果將大氣近似為二維流體，需要建立一種「轉換器」，將真實三維大氣中的狀態轉換為二維模型中的相應狀態，然後進行計算，最後將計算結果轉換到真實大氣的狀態。研究團隊直覺地選取實際的500百帕氣壓高度來作為所假設的二維流體，主因是500百帕大致將大氣垂直上分成質量均等的上下兩層，Charney後來為500百帕高度的選取提供了合理的解釋 (p32)。此外，500百帕氣壓面上的擾動很大程度上主導了天氣系統的移動 (雖然跟天氣系統的發展較無關連)，是做天氣預報十分有效的資訊 (p33)。
研究團隊進一步假設大氣為正壓 (barotropic) 狀態，即大氣的密度 (或溫度) 只隨壓力變化，而不隨高度或經緯度變化，意味著等壓面上各處的溫度分佈是均勻的，沒有水平溫度梯度。這個二維的正壓大氣動力過程是基於渦度方程，配上數值方法和電腦程式，團隊發展出一個二維正壓大氣數值模式。如果提供實際大氣在500百帕氣壓高度的觀測資料，讓模式進行時間積分，模式的結果「約等效於」實際大氣在500百帕氣壓高度的變化，就可依據此資訊來做天氣預報 (p32-33)。
1950年，團隊發表了使用這個二維正壓大氣模式做出的24小時區域天氣預報 (Charney, Fjortoft, and von Neumann, 1950)，撼動整個氣象界。雖然模式花了24小時的時間才完成24小時的天氣預報，但模式結果重現了許多實際觀測到的大氣特徵，顯示其在天氣預報的潛力。美國、瑞典、及歐洲各國加速投入模式的開發和數值天氣預報技術，不到短短幾年，同樣的模式只需幾分鐘就能完成24小時的預報。數值天氣預報正式投入作業用途，而且結果通常比傳統預報方法更為可靠 (p32)。
▋5. 數值天氣預報帶來的機會與挑戰
二維正壓大氣模式在天氣預報的初步成果，帶來數值天氣預報的許多機會以及挑戰。
＊二維正壓大氣模式的改進及挑戰
以二維正壓大氣模式為例，當對某區域進行天氣預報時，僅依靠渦度方程並不能完成計算，還需要知道該區域的邊界線上所有點的運動狀態、和進出此區域的氣團渦度等，因此需要做些額外假設，不可避免地可能使誤差增加。一個可能解決方法是將計算範圍擴展到北半球的大部分，並將邊界設置在相對靜止的副熱帶高壓區。然而，這又帶來了其他困難，包括觀測網絡資料的不足、偏遠地區的通訊傳遞資料問題，以及當時電腦的容量和速度限制 (p33)。
地轉調整 (geostrophic adjustment) 假設在任意地點與時間的氣壓場改變，風場會立即調整，來達到地轉平衡，意指科氏力與氣壓梯度力達到平衡狀態。經過精細的理論分析，在二維正壓大氣模式中調整的確是即時的，但跟理論上計算出來的地轉平衡有點偏差。如果試圖考慮這些偏差，則在處理邊界條件時會出現一些新的問題。更深入討論已超出本文的範疇 (p33)。
通常假設大氣中的湍流摩擦會在幾天內消耗掉可用的動能。儘管有如此強烈的耗散作用，在500百帕氣壓面仍常觀測到一些幾乎靜止、持續觀測數週的封閉氣旋或反氣旋系統。這顯示這些系統可能引發某種橫向環流或垂直運動，通過這些運動釋放部分位能，才能彌補湍流摩擦耗散作用。但在二維正壓大氣模式中，湍流摩擦造成的能量耗散和系統引發的運動是完全不考慮的，雖然這能算出正確的結果，但明顯了忽略了重要的物理過程 (p34)。
以上討論顯示即使在相對簡化的二維正壓大氣模式，還是有很多新的議題產生，需要進一步研究才能解答。
＊發展預報綜觀尺度天氣系統的模式
綜觀尺度的天氣系統影響日常天氣變化，其尺度 (2,000公里至10,000公里) 遠小於可用正壓理論處理的長波或封閉氣旋系統，而且在這些綜觀尺度的天氣系統中，空氣的垂直運動扮演很重要的角色，需要思考如何處理。可能方式之一是把大氣在垂直方向上劃分為若干水平層，每層應用廣義的渦度定理，在對流層中上升氣流的區域，由於質量守恆，下層表現出輻合，而上層則表現出輻散。在氣流下沉的區域，水平輻合與輻散的分佈情況則相反。輻散與輻合影響渦度分佈 (輻合會增加渦度，而輻散則減少渦度)，假設各層均處於地轉平衡和靜力平衡的狀態，再通過熱力學原理，最終可以構建一個封閉的動力系統。這個新模式已在美國華盛頓氣象局進行了一段時間的測試。有些時候成功預測了地表某些意外且快速的氣旋加強現象，但有些時候卻產生了錯誤的預測，顯示我們對這些較小尺度的動力學的理解還不夠充分 (p35-36)。
＊改進天氣預報作業流程
例行的天氣圖繪製和分析對預報人員是很繁重的工作，瑞典試著讓電腦來接手，並取得重大的進展。例如要產製500百帕氣壓上的當天天氣圖，他們將前一天的24小時預報結果作為起點，作為當天天氣圖的初步近似，然後再做修改 (p36)。
另外，還可以將氣象觀測數據即時和數值天氣預報結果相結合，例如觀測數據自動在電腦中進行分類和分析，生成的即時天氣圖顯示在一個電視屏幕上，同時旁邊的屏幕則顯示24或48小時後的可能天氣情況，幫助預報員做天氣預報 (p36)。
▋6. 知識的累積和應用新科技來改進天氣預報
做準確的天氣預報是很困難的問題，需要通過大膽且富有創意的行動，而不是依靠傳統或耗時的方法 (“cutting the Gordian Knot”)。數值天氣預報是一個很好的例子。數值預報還提供了另一個不容忽視的優勢。知識和經驗可以透過數學物理等表達方式納入模式中，而用傳統方式進行預報的氣象學家必須記住舊有的方法，同時還需了解新方法和結果。在培訓新一代氣象學家時，光學習新方法就焦頭爛額了，傳統預測技術有時很難完整的傳承下來。
Rossby看到美國中西部正在用雷達來觀測和研究龍捲風、在新墨西州發射火箭俯拍下方的下方的低壓系統，他感到十分振奮。雖然這些新科技在多大程度上能應用於日常天氣預報作業還為時尚早，但適當結合擴展的雷達網絡與在高空拍攝的照片或其他測量數據，來發布短期詳細的天氣預測，有實際應用的重要價值 (p36-37)。
Rossby覺得氣象學家在使用傳統工具時，總是受到結構的限制，就像被迫採取蛙眼視角一樣。另一方面，來自高空的照片可能幫助我們發展出鳥瞰視角 (“we as meteorologists working with conventional tools are constantly hampered by the structure-dissolving, frog's-eye view, which is forced upon us. On the other hand photographs from great heights might help us to develop a bird's eye view.”; p37)。
備註：這篇文章的封面圖是給定一段文字：“Numerical weather prediction. Please emphasize physical equations, computers, and weather forecast”，然後用AI產生出來。如果Rossby看到現在AI的強大功能，應該會驚到連下巴都掉下來吧。
參考資料
CHARNEY, J. G., FJÖRTOFT, R., & NEUMANN, J. (1950). Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation. Tellus, 2(4), 237–254. https://doi.org/10.1111/j.2153-3490.1950.tb00336.x
Lynch, Peter (2006): The Emergence of Numerical Weather Prediction: Richardson's Dream, https://www.amazon.com/Emergence-Numerical-Weather-Prediction-Richardsons/dp/0521857295
Rossby , C.-G . 1959 . Current problems in meteorology . In B. Bolin : (ed.): The atmosphere and sea in motion , pp. 9 – 50 . Rockefeller Institute Press , New York.
https://books.rupress.org/sites/books.rupress.org/files/ebooks/9780874700336_WEB.pdf